卫星的相遇模型

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卫星的相遇模型
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前言
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        天体运动一直是高考的重要考点之一。在天体运动中，追及与相遇问题是重点和难点，高考中常常涉及。由于天体运动中的追及与相遇不是在直线上的追及与相遇，故处理起来会比较麻烦。

        两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上前一卫星，我们称之为追及问题。两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圆周运动，当两星某时相距最近时我们称之为两卫星相遇问题。

01

相遇模型



02

规律推导

         AB都是由万有引力提供向心力，



        若从AB相距最近开始计时，在相同的时间内，A转过的圆心角角度比B的大，当A比B刚好多转一圈的时候，此时正好AB又一次相距最近，且A转过的圆心角比B大2π，同理，再下一次相距最近时，A转过的圆心角又比B大2π，故相距最近到相距最近时，有θA－θB=2nπ(n=1,2,3…)

        若从AB相距最近开始计时，在相同的时间内，A转过的圆心角角度比B的大，当A比B刚好多转半圈的时候，此时正好AB相距最远，且A转过的圆心角比B大π，若A转过的圆心角比B大3π，此时相距也是最远，故有θA－θB=（2n＋1）π(n=0,1,2,…)

03

典例分析

【模型】如图所示，有 A、B 两颗行星绕同一颗恒星M 做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则：

(1)经过多长时间，两行星相距最近？

(2)经过多长时间，两行星相距最远？



【分析】AB都是由万有引力提供向心力，故可以总结应用相遇规律求解。



【变式1】如图所示，甲、乙两颗卫星绕地球做圆周运动，已知甲卫星的周期为N小时，每过9N小时，乙卫星都要运动到与甲卫星同居于地球一侧且三者共线的位置上，则甲、乙两颗卫星的线速度之比为 (　　)





答案：A

【分析】每过9N小时，乙卫星都要运动到与甲卫星同居于地球一侧且三者共线的位置上，即甲乙两卫星从相距最近到下一次相距最近的时间间隔是9N。

【解析】设甲乙的半径分别为r1，r2，周期分别为T1，T2，甲乙两卫星从相距最近到下一次相距最近的过程中,甲乙转过的圆心角分别为为θ1，θ2有：



【变式2】（多选）已知地球自转周期为 T0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是(    )



答案：CD

【分析】设在城市的正上方有一颗同步卫星B，低轨道卫星为A，该低轨道卫星A两次在同一城市的正上方出现时，正好是AB两卫星由相距最近到相距最近，固有θA－θB=2nπ

【解析】设在城市的正上方有一颗同步卫星B，同步卫星的周期与地球自转周期相同，即为T0，设A卫星的周期为TA，对AB两卫星由开普勒第三定律有：

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不念过去

END

不畏将来
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