椭圆轨道运动

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例题：如图所示，

一根绳的两端分别固定在两座猴山的A、B处，A、B两点水平距离为16m，竖直距离为2m，A、B间绳长为20m，质量为10kg的猴子抓住套在绳上的滑环从A处滑到B处。以A点所在水平面为参考平面，猴子在滑行过程中重力势能最小值约为（绳处于拉直状态） （ B ）
A．-1.2×10³J    
B．-7.5×10² J
C．-6.0×10² J     
D．-2.0×10² J
【解析】猴子运动轨迹为椭圆

猴子在运动过程中机械能守恒，重力势能最小，在最低位置，动能最大，速度最大，切向加速度为零(加速度不为零)。

在最低点时，两侧绳子与水平方向的夹角相同，记为θ，设右边绳子长为a，则左边绳子长为20-a，由几何关系得20cosθ＝16， asinθ-(20-a)sinθ＝2，联立解得a＝35m/3，所以最低点距离参考面的高度差为asinθ＝7m，猴子的重心比绳子最低点大约低0.5m，所以猴子在最低点的重力势能约为-750J。
例题：如图所示，

有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线.已知一小球从M点出发，初速率为v₀，沿管MPN运动，到N点的速率为v₁，所需时间为t₁；若该小球仍由M点以初速率v₀出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v₂，所需时间为t₂.则（A）
A. v₁＝v₂，t₁＞t₂
B. v₁＜v₂，t₁>t₂
C.v₁＝v₂，t₁＜t₂
D.v₁＜v₂，t₁＜t₂

I卫星：卫星是指在围绕一颗行星轨道并按闭合轨道做周期性运行的天然天体，人造卫星一般亦可称为卫星。人造卫星是由人类建造，以太空飞行载具如火箭、航天飞机等发射到太空中，像天然卫星一样环绕地球或其它行星的装置。（不过，如果两个天体质量相当，它们所形成的系统一般称为双行星系统，而不是一颗行星和一颗天然卫星）

Ⅱ卫星轨道：可以是圆轨道（地心位于圆心），也可以是椭圆轨道（地心位于椭圆的一个焦点上），但轨道平面必过地心。
内容四：人造地球卫星的轨道：
人造卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对它的万有引力提供向心力，地球对卫星的万有引力指向地心。而做匀速圆周运动的物体的向心力时刻指向它所做圆周运动的圆心。因此人造卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合。这样就存在三类人造地球卫星轨道（如图所示）：
①赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面上，卫星始终处于赤道上方。
②极地轨道：卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星通过两极上空
③一般轨道：卫星轨道和赤道成一定的角度。
1.若轨道为椭圆，中心天体位于椭圆的焦点上，而不是中心上；
2.由面积定律得近日点速度大于远日点速度,且r₁v₁=r₂v₂；
3.圆和椭圆轨道卫星机械能都守恒；圆轨道的机械能为-GMm/2r，椭圆轨道的机械能为-GMm/2a.
4.卫星变轨问题，从低轨到高轨必须加速，从高轨到高低轨必须减速；
5.计算椭圆轨道周期，用开普勒第三定律；
6椭圆轨道的中心天体质量计算用开普勒第三定律。
例题：如图所示,

一天体m 绕另一天体M 运动,其运动轨迹为椭圆,天体M 处在椭圆其中一个焦点上,可认为静止不动.设OA 间的距离为rA,OB 间的距离为rB,天体m 运动到A 点和B 点的速度大小分别为vA和vB.
【卫星的椭圆运动】在地面附近发射飞行器，如果速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，它将沿椭圆轨道绕地球运行，地心就成为椭圆轨道的一个焦点.如果速度继续增大，达到或大于11.2km/s时（但需小于第三宇宙速度），它就会克服地球的引力，离开地球，成为绕太阳运动的一颗人造行星。

开普勒第三定律：

绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。
即：a³/T²=k=GM/4π²
例题：2021年1月，“天通一号”03星发射成功。发射过程简化为如图所示：

火箭先把卫星送上轨道1（椭圆轨道，P、Q是远地点和近地点）后火箭脱离；卫星再变轨，到轨道2（圆轨道）；卫星最后变轨到轨道3（同步圆轨道）。轨道1、2相切于P点，轨道2、3相交于M、N两点。忽略卫星质量变化，下列说法正确的是（B）
A.卫星在三个轨道上的周期T₃＞T₂＞T₁
B.卫星在三个轨道上机械能E₃＝E₂＞E₁
C.由轨道1变至轨道2，卫星在P点向前喷气
D.轨道1在Q点的线速度小于轨道3的线速度
例题：地球的公转轨道接近圆，

哈雷彗星的轨道则是一个非常扁的椭圆，预测哈雷彗星下次飞近地球将在2061年左右。若哈雷彗星近日点与太阳中心的距离为r₁、线速度大小为v₁，远日点与太阳中心的距离为r₂、线速度大小为v₂，则哈雷彗星（B）
A.线速度v₁＜v₂
B.近日点与远日点的机械能相等
C.近日点与远日点的加速度大小之比为v₁²/v₂²
D.远日点的加速度大小为v₂²/r₂
例题：某卫星绕地球运动的轨道如图所示的椭圆，

其中O为地球所处的位置，位置1和2分别是卫星绕地球运动的近地点和远地点，设卫星经过这两点时速度分别为v₁和v₂、与地心的距离分别是r₁和r₂，设地球的半径为R、地球表面的重力加速度为g，则卫星经过这两点时的加速度a₁和a₂分别是（AC）

例题：2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×10⁵s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×10⁵m。已知火星半径约为3.4×10⁶m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s²，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（）。

A:6×10⁵m

B:6×10⁶m

C:6×10⁷m

D:6×10⁸m

例题：两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖.他们对一颗靠近银河系中心的恒星S₂的位置变化进行了持续观测,记录到的S2 的椭圆轨道如图所示.图中O 为椭圆的一个焦点,椭圆偏心率(离心率)约为0.87.P、Q 分别为轨道的远心点和近心点,Q 与O 的距离约为120AU(太阳到地球的距离为1AU),S₂的运行周期约为16年.假设S₂的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响,根据上述数据及日常的天文知识,可以推出(BCD).

A.S₂与银河系中心致密天体的质量之比
B.银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C.S₂在P 点与Q 点的速度大小之比
D.S₂在P 点与Q 点的加速度大小之比
例题：2021年2月10日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火星捕获制动，成为火星卫星。如图所示为探测器经过多次变轨后登陆火星的轨道示意图，

其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆，探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ后从Q点登陆火星。O点是三个轨道的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在一条直线上，O、Q分别为椭圆轨道II的远火点和近火点。已知火星的半径为R，OQ＝4R，探测器在轨道Ⅱ上正常运行时经过O点的速度为v，在此轨道上运行的周期为T，下列说法正确的是（D）
A.沿轨道Ⅰ运行时探测器与点的连线在相等时间内扫过的面积相等
B.沿轨道Ⅱ运行时探测器经过O点时的加速度大小为v²/R
C.沿轨道Ⅱ运动到O点的速度小于沿轨道Ⅲ运动到O点的速度
D.沿轨道Ⅲ运行时探测器从Q点到O点的时间为√6T/9
例题：如图所示，

从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，在引力作用下，沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B，C为轨道的远地点，距地面高度为h。已知地球半径为R，地球质量为m，引力常量为G。设距地面高度为h的圆轨道上卫星运动周期为T，不计空气阻力。下列结论正确的是（BCD）

例题：如图，

质量为M的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，长轴水平，短轴竖直.质量为m的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑.以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系xOy，椭圆长轴位于x轴上.整个过程凹槽不翻转，重力加速度为g.

（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；

（2）在平面直角坐标系xOy中，求出小球运动的轨迹方程；

（3）若M/m＝b/(a-b)，求小球下降h＝b/2高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用a、b及g表示）.